Vectores Aleatorios

En este apunte solo pongo las definiciones para dos variables. No encontré nada sorpresivo en la generalización.

Definiciones

Sean X e Y dos variables aleatorias, la función de distribución/densidad conjunta del par (X,Y) se define como:

• $p_{X,Y}(x,y) = P(X=x, Y=y)$ en caso discreto

• $P((X,Y) \in A) = \int_A f_{X,Y}(x,y) dx dy$ en caso continuo

Las funciones de probabilidad marginal de X e Y respectivamente son:

• Caso discreto:

  • $p_X(x) = \sum_{y \in R_Y} p_{X,Y}(x,y)$

  • $p_Y(y) = \sum_{x \in R_X} p_{X,Y}(x,y)$

• Caso continuo:

  • $f_X(x) = \int^\infty_{-\infty} f_{X,Y}(x,y) dy$

  • $f_Y(y) = \int^\infty_{-\infty} f_{X,Y}(x,y) dx$

La función de distribución acumulada conjunta de (X,Y):

• $F_{X,Y}(x,y) = \sum_{s \leq x, t \leq y} p_{X,Y}(s,t)$ en caso discreto

• $F_{X,Y}(x,y) = \int^x_{-\infty}\int^y_{-\infty} f_{X,Y}(s,t) dt ds$ en caso continuo

La función de probabilidad condicional de $Y$dado $X=x$está dada por:

• $p_{Y|X=x}(y) = \frac{p_{X,Y}(x,y)}{p_X(x)}$ en caso discreto

• $f_{Y|X=x}(y) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)}$ en caso continuo

Notas que necesitamos que el denominador nunca valga 0.

Independencia

Dos variables aleatorias son independientes si y solo si $\forall a < b, c < d$:

$P(\{a < X < b\} \cap \{c < Y < d\}) = P(a < X < b) P(c < Y < d)$

En el caso discreto, alcanza encontrar un par $(x,y)$tal que $p_{X,Y}(x,y) \neq p_X(x) p_Y(y)$ para determinar que dos variables no son independientes.

En el caso continuo, se necesita un conjunto $(a,b) \times (c,d) \subseteq \Re^2$ (es decir, de medida no nula) que no satisfaga $f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) f_Y(y)$. Si el soporte (conjunto de valores donde la densidad es positiva) de la densidad conjunta no es igual al producto cartesiano de los soportes de las densidades de X e Y, es inmediato encontrar un conjunto asi.

Si se encuentra un punto $(x,y)$en el que no se satisfaga, y las densidades son continuas, también es suficiente.

Esperanza

Sea $h : \Re^2 \to \Re$, entonces:

• $E(h(X,Y)) = \sum_{x \in R_X} \sum_{y \in R_Y} h(x,y) p_{X,Y}(x,y)$

• $E(h(X,Y)) = \int^\infty_{-\infty} \int^\infty_{-\infty} h(x,y) f_{X,Y}(x,y) dx dy$

Propiedades

• $E(aX + bY) = aE(X) + b E(Y)$

• Si son independientes, $E(XY) = E(X) E(Y)$

Covarianza y correlación

$Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]$

Correlación: $\rho(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{V(X)V(Y)}}$

Propiedades

• $Cov(X,X) = V(X)$

• $Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$

• Si dos variables son independientes, entonces $Cov(X,Y) = 0$

• $\rho(aX + b, cY + d) = signo(a \cdot c) \rho(X, Y)$

• $-1 \leq \rho(X,Y) \leq 1$

• $|\rho(X,Y)| = 1 \iff Y = aX + b$ con probabilidad 1, para ciertos $a,b \in \Re, a \neq 0$

• Correlación mide relación lineal entre variables.

Distribución Multinomial

Es una generalización de la binomial. Supongamos que se repite n veces en forma independiente una experiencia, que en cada repetición hay $k$ resultados posibles ($k \geq 2$), cada uno de los cuales ocurre con probabilidad $p_i$ ($1 \leq i \leq k$) y que estas probabilidades se mantienen constantes en todas las repeticiones. Definimos: $X_i$: número de veces que ocurre el resultado $i$.

Notamos: $(X_1..X_k) \sim M(n, p_1, .. , p_k)$

$p_{X_1..X_k}(x_1, .., x_k) = \begin{cases} \frac{n!}{\prod^k_{i=1} x_i!} \prod^k_{i=1} p^{x_i}_i & \text{si } 0 \leq x_i \leq n, \sum^k_{i=1} x_i = n \\ 0 & \text{caso contrario}\end{cases}$

Observación: $X_i \sim Binom(n, p_i)$