Si son independientes, V(∑i=1naiXi)=∑i=1nai2V(Xi)
Si son independientes e identicamente distribuidas, con E(Xi)=μ y V(Xi)=σ2, y sea Xˉ=n1∑i=1nXi el promedio, entonces:
E(∑i=1nXi)=nμ
V(∑i=1nXi)=nσ2
E(Xˉ)=μ
V(Xˉ)=nσ2
Desigualdad de Chebyshev
Sea Xuna v.a. con E(X)=μ y V(X)=σ2, entonces:
P(∣X−μ∣>ε)≤ε2σ2(∀ε>0)
Provee una cota que puede ser bastante grosera.
Otra formulación: P(∣X−μ∣>kσ)≤k21(∀k>0)
Ley de los Grandes Números
Sea Xnuna sucesión de v.a., diremos que converge en probabilidad a la v.a. Xy lo notamos Xn→pX si:
limn→∞P(∣Xn−X∣>ε)=0(∀ε>0)
La Ley de los Grandes Números dice que, si Xison i.i.d con E(Xi)=μ y V(Xi)=σ2<∞, entonces Xˉ→pμ
Teorema Central del Límite
Sean Xi i.i.d con E(Xi)=μ y V(Xi)=σ2<∞, entonces:
nσ∑Xi−nμ→dZ∼N(0,1)
σn(Xˉ−μ)→dZ∼N(0,1)
donde →d se interpreta en el sentido de que la distribución converge a ser igual a la normal estándar.
Corrección por continuidad
Cuando se aproxima una distribución discreta por una continua, como es el caso de la aproximación de la distribución binomial por la normal, es necesario efectuar una corrección.
Por ejemplo, si la discreta es una variable con rango en los naturales, pueden pasar que P(X≤k)+P(X≥k+1)=1en la distribución discreta pero no en la continua.
Para resolver esto, tomamos P(X≤k)=P(X≤k+0.5) y P(X≥k+1)=P(X≥k+0.5) en la aproximación continua.