Suma de variables

Suma y promedio de variables

Por la unicidad, es muy útil trabajar con la función generadora de momentos:

$M_{X+Y}(t) = M_X(t) M_Y(t)$

Por ejemplo, si $X \sim P(\lambda)$ y $Y \sim P(\mu)$, entonces:

$M_{X+Y}(t) = M_X(t) M_Y(t) = e^{\lambda (e^t-1)} e^{\mu (e^t-1)} = e^{(\lambda + \mu) (e^t-1)}$

por lo que $X + Y \sim P(\lambda + \mu)$.

Propiedades

• $E(\sum^n_{i=1} a_iX_i) = \sum^n_{i=1} a_i E(X_i)$

• $V(\sum^n_{i=1} a_iX_i) = \sum^n_{i=1} a^2_i V(X_i) + 2 \sum_{i<j} a_i a_j Cov(X_i, X_j)$

• Si son independientes, $V(\sum^n_{i=1} a_iX_i) = \sum^n_{i=1} a^2_i V(X_i)$

Si son independientes e identicamente distribuidas, con $E(X_i) = \mu$ y $V(X_i) = \sigma^2$, y sea $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum^n_{i=1} X_i$ el promedio, entonces:

• $E(\sum^n_{i=1} X_i) = n \mu$

• $V(\sum^n_{i=1} X_i) = n \sigma^2$

• $E(\bar{X}) = \mu$

• $V(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$

Desigualdad de Chebyshev

Sea $X$una v.a. con $E(X) = \mu$ y $V(X) = \sigma^2$, entonces:

$P(|X - \mu| > \varepsilon) \leq \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}\ (\forall \varepsilon > 0)$

Provee una cota que puede ser bastante grosera.

Otra formulación: $P(|X - \mu| > k \sigma) \leq \frac{1}{k^2}\ (\forall k > 0)$

Ley de los Grandes Números

Sea $X_n$una sucesión de v.a., diremos que converge en probabilidad a la v.a. $X$y lo notamos $X_n \to^p X$ si:

$lim_{n\to \infty} P(|X_n - X| > \varepsilon) = 0\ (\forall \varepsilon > 0)$

La Ley de los Grandes Números dice que, si $X_i$son i.i.d con $E(X_i) = \mu$ y $V(X_i) = \sigma^2 < \infty$, entonces $\bar{X} \to^p \mu$

Teorema Central del Límite

Sean $X_i$ i.i.d con $E(X_i) = \mu$ y $V(X_i) = \sigma^2 < \infty$, entonces:

• $\frac{\sum X_i - n \mu}{\sqrt{n} \sigma} \to^d Z \sim N(0,1)$
• $\frac{\sqrt{n} (\bar{X} - \mu)}{\sigma} \to^d Z \sim N(0,1)$

donde $\to^d$ se interpreta en el sentido de que la distribución converge a ser igual a la normal estándar.

Corrección por continuidad

Cuando se aproxima una distribución discreta por una continua, como es el caso de la aproximación de la distribución binomial por la normal, es necesario efectuar una corrección.

Por ejemplo, si la discreta es una variable con rango en los naturales, pueden pasar que $P(X \leq k) + P (X \geq k+1) = 1$en la distribución discreta pero no en la continua.

Para resolver esto, tomamos $P(X \leq k) = P (X \leq k+0.5)$ y $P(X \geq k+1) = P (X \geq k+0.5)$ en la aproximación continua.