Función Generadora de Momentos

El momento de órden k de X se define como $E(X^k)$, siempre que la esperanza exista.

Notemos que:

• $E(X)$: primer momento, posición

• $E(X^2)$: segundo momento, relacionado con dispersión

La función generadora de momentos se define como:

$M_X(t) = E(e^{tX}) = \begin{cases} \sum_{x\in R_X} e^{tx} p_X(x) & \text{si X es discreta} \\ \int^\infty_{-\infty} e^{tx} p_X(x) dx & \text{si X es continua} \end{cases}$

siempre que el valor esperado exista $\forall t \in (-h, h)$, para algún $h > 0$.

Teorema:

$E(X^n) = \frac{\partial^n}{\partial t^n} M_X(t) |_{t=0}$

Propiedades

• Si $Y = aX + b$, entonces $M_Y(t) = e^{bt} M_X(at)$

• Unicidad: si existe la función generadora de momentos, es única. Además, esta determina la función de densidad/probabilidad de la v.a. salvo a lo sumo en un conjunto de probabilidad 0.

Distribuciones

Distribución	$M_X(t)$
$Binom(n, p)$	$(e^t p + 1 - p)^n$
$Geom(p)$	$\frac{p e^t}{1 - (1 - p) e^t}$
$BN(r, p)$	$(\frac{p e^t}{1 - (1 - p) e^t})^r$
$P(\lambda)$	$e^{\lambda (e^t - 1)}$
$U(a,b)$	$\frac{e^{tb} - e^{ta}}{t (b-a)}$
$N(\mu, \sigma^2)$	$\exp(\frac{\sigma^2 t^2}{2} + \mu t)$
$\varepsilon(\lambda)$	$\frac{\lambda}{\lambda - t}$
$\Gamma(\alpha, \lambda)$	$(\frac{\lambda}{\lambda - t})^\alpha$