# Función Generadora de Momentos

El momento de órden k de X se define como $$E(X^k)$$, siempre que la esperanza exista.

Notemos que:

* $$E(X)$$: primer momento, posición
* $$E(X^2)$$: segundo momento, relacionado con dispersión

La **función generadora de momentos** se define como:

$$M\_X(t) = E(e^{tX}) = \begin{cases} \sum\_{x\in R\_X} e^{tx} p\_X(x) & \text{si X es discreta} \ \int^\infty\_{-\infty} e^{tx} p\_X(x) dx & \text{si X es continua} \end{cases}$$

siempre que el valor esperado exista $$\forall t \in (-h, h)$$, para algún $$h > 0$$.

### **Teorema:**

$$E(X^n) = \frac{\partial^n}{\partial t^n} M\_X(t) |\_{t=0}$$

### Propiedades

* Si $$Y = aX + b$$, entonces $$M\_Y(t) = e^{bt} M\_X(at)$$
* **Unicidad:** si existe la función generadora de momentos, es única. Además, esta determina la función de densidad/probabilidad de la v.a. salvo a lo sumo en un conjunto de probabilidad 0.

### Distribuciones

| Distribución                | $$M\_X(t)$$                              |
| --------------------------- | ---------------------------------------- |
| $$Binom(n, p)$$             | $$(e^t p + 1 - p)^n$$                    |
| $$Geom(p)$$                 | $$\frac{p e^t}{1 - (1 - p) e^t}$$        |
| $$BN(r, p)$$                | $$(\frac{p e^t}{1 - (1 - p) e^t})^r$$    |
| $$P(\lambda)$$              | $$e^{\lambda (e^t - 1)}$$                |
| $$U(a,b)$$                  | $$\frac{e^{tb} - e^{ta}}{t (b-a)}$$      |
| $$N(\mu, \sigma^2)$$        | $$\exp(\frac{\sigma^2 t^2}{2} + \mu t)$$ |
| $$\varepsilon(\lambda)$$    | $$\frac{\lambda}{\lambda - t}$$          |
| $$\Gamma(\alpha, \lambda)$$ | $$(\frac{\lambda}{\lambda - t})^\alpha$$ |