Distribuciones

Distribución Bernoulli

Se hace una prueba dicotómica (éxito o fallo), y la probabilidad de éxito es $p$

$R_X = \{0, 1\}$(fallo o éxito)

$p_X(k) = p^k (1-p)^{1-k}$

Propiedades

$E(X) = p$

$V(X) = p \cdot (1-p)$

Distribución Binomial

• El experimento consta de n pruebas.

• Las pruebas son independientes.

• Las pruebas son dicotómicas e identicamente distribuidas (Bernoullis) con probabilidad p de éxito.

Notamos $X \sim Bi(n, p)$.

$p_X(k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ ya que tenemos probabilidad $p^k (1-p)^{n-k}$ de que salgan $k$ éxitos y $n-k$ fallos, y hay $\binom{n}{k}$ formas de elegir esos k éxitos.

Propiedades

Binomio de Newton:$(a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$

$E(X) = n \cdot p$

$V(X) = n \cdot p \cdot (1-p)$

Distribución Geométrica

Cantidad de ensayos de Bernoulli independientes e idénticamente distribuidos hasta el primer éxito.

Notamos $X \sim G(p)$

$p_X(k) = (1-p)^{k-1} \cdot p$, ya que tenemos $k-1$fallos y luego un éxito.

Propiedades

$E(X) = \frac{1}{p}$

$V(X) = \frac{1-p}{p^2}$

Falta de memoria

$P(X > n + m | X > n) = P(X > m)$

TODO: demostrar. El apunte recomienda primero demostrar que $P(X>k) = (1-p)^k$.

Distribución Binomial Negativa

Como geométrica, pero ahora esperamos al r-ésimo éxito (en vez del primero) para $r \geq 1$

$p_X(k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-k)^{k-r}$, ya que tenemos r éxitos, k-r fallos, y de los primeros $k-1$ ensayos buscamos cuantas formas hay de obtener $r-1$ éxitos (ya sabemos que el ensayo k-ésimo tiene que ser éxito. Sino, no hubieramos parado).

Propiedades

$E(X) = \frac{r}{p}$

$V(X) = \frac{r (1-p)}{p^2}$

Demostraciones: Binomial Negativa es suma de Geométricas independientes, se verá más adelante.

Distribución Hipergeométrica

Se saca sin reposición de una urna con N elementos, D de los cuales son éxitos y N-D fallos. La variable representa cuantos éxitos obtenemos al sacar n bolitas de la urna

Notamos $X \sim H(n, N, D)$

$p_X(k) = \frac{\binom{D}{k} \binom{N - D}{n - k}}{\binom{N}{n}}$

Propiedades

$E(X) = n \frac{D}{N}$

$V(X) = \frac{N - n}{N - 1} n \frac{D}{N} (1 - \frac{D}{N})$

Demostración: ejercicio opcional (según el apunte).

Al factor $\frac{N-n}{N-1}$ se lo denomina factor de corrección por población finita.

Si n es mucho más pequeño que N, entonces la $H(n, N D)$puede ser aproximada por $Bi(n, \frac{D}{N})$. En este caso, el factor de corrección vale aproximadamente 1.

Distribución Poisson

Si tenemos $X \sim Bi(n, p)$y suponemos que $n \to \infty$, $p \to 0$ y $n \cdot p = \lambda$, entonces $p_X(k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \to \frac{e^{- \lambda} \lambda ^k}{k!} \forall k \in N_0$

$X \sim P(\lambda)$si $p_X(k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$.

Propiedades

$E(X) = \lambda$

$V(X) = \lambda$

Procesos de Poisson

Se interpreta la Poisson como la cantidad de ocurrencias de un evento en un intervalo de tiempo, área, u otra medida. Imaginamos que el intervalo lo subdividimos en muchos subintervalos y se satisface que:

• La probabilidad de que ocurra un evento en un subintervalo es proporcional al largo del subintervalo.

• La probabilidad de que ocurra más de un evento por subintervalo es despreciable.

• La ocurrencia de un evento en un subintervalo es independiente de lo que ocurre en otros subintervalos.

Notamos $X_t \sim P(\theta \cdot t)$, donde $\theta$es la tasa media de ocurrencias o intensidad por unidad de tiempo y $t$es el largo del intervalo.