# Definiciones

Una **variable aleatoria X** es una función que asocia a cada elemento de $$w \in S$$un número real $$X(w) = x$$, es decir $$X : S \to \Re$$

**Rango:** Indicaremos con $$R\_X$$ el rango de la v.a. X, es decir el conjunto de valores posibles de la v.a. X.

Una v.a. **es discreta si toma un número finito o infinito numerable de valores**.

### **Función de probabilidad puntual o de masa**

$$p\_X(x) = P(X = x) = P({w \in S | X(w) = x})$$

### Función de distribución acumulada

$$F\_X(x) = P(X \leq x) = \sum\_{y \leq x, y \in R\_X} p\_X(y)$$

Notar que es una función **monótona no decreciente, escalonada y continua a derecha.**

### **Esperanza**

$$E(X) = \sum\_{x \in R\_X} x \cdot p\_X(x)$$

si $$\sum\_{x \in R\_X} |x| \cdot p\_X(x) < \infty$$. Sino, decimos que no existe.

La esperanza es el **centro de gravedad de la función de probabilidad puntual**.

#### Esperanza de una función

$$E(h(X)) = \sum\_{x \in R\_X} h(x) \cdot p\_X(x)$$

si $$\sum\_{x \in R\_X} |h(x)| \cdot p\_X(x) < \infty$$. Sino, decimos que no existe.

#### Linealidad

Si $$a,b \in \Re$$, entonces $$E(aX+b) = aE(X) + b$$

### Varianza

$$V(X) = E((X - E(X))^2)$$

y el desvío estándar es $$\sqrt{V(X)}$$

#### Propiedades

* $$V(X) = E(X^2) - E(X)^2$$
* $$V(aX+b) = a^2V(X)$$