Definiciones

Una variable aleatoria X es una función que asocia a cada elemento de $w \in S$un número real $X(w) = x$, es decir $X : S \to \Re$

Rango: Indicaremos con $R_X$ el rango de la v.a. X, es decir el conjunto de valores posibles de la v.a. X.

Una v.a. es discreta si toma un número finito o infinito numerable de valores.

Función de probabilidad puntual o de masa

$p_X(x) = P(X = x) = P({w \in S | X(w) = x})$

Función de distribución acumulada

$F_X(x) = P(X \leq x) = \sum_{y \leq x, y \in R_X} p_X(y)$

Notar que es una función monótona no decreciente, escalonada y continua a derecha.

Esperanza

$E(X) = \sum_{x \in R_X} x \cdot p_X(x)$

si $\sum_{x \in R_X} |x| \cdot p_X(x) < \infty$. Sino, decimos que no existe.

La esperanza es el centro de gravedad de la función de probabilidad puntual.

Esperanza de una función

$E(h(X)) = \sum_{x \in R_X} h(x) \cdot p_X(x)$

si $\sum_{x \in R_X} |h(x)| \cdot p_X(x) < \infty$. Sino, decimos que no existe.

Linealidad

Si $a,b \in \Re$, entonces $E(aX+b) = aE(X) + b$

Varianza

$V(X) = E((X - E(X))^2)$

y el desvío estándar es $\sqrt{V(X)}$

Propiedades

• $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$
• $V(aX+b) = a^2V(X)$