# Distribuciones

### Uniforme

Notamos $$X \sim U(A, B)$$

$$f\_X(x) = \frac{1}{B-A} I\_{\[A, B]}(x)$$

* $$I\_{\[A, B]}(x) =\ if\ x \in \[A,B]\ then\ 1\ else\ 0$$

#### Propiedades

$$E(X) = \frac{A+B}{2}$$

$$V(X) = \frac{(B-A)^2}{12}$$

### Normal

Notamos $$X \sim N(\mu, \sigma^2)$$

$$f\_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp(- \frac{1}{2\sigma^2} (x - \mu)^2)$$ 

* $$\exp(x) = e^x$$, escribo exp porque sino el exponente queda muy chico

#### Normal Estándar

La normal estándar cumple $$\mu = 0$$y $$\sigma = 1$$.

A su función de distribución acumulada la escribimos $$\Phi = F\_X$$. No tiene una expresión analítica conocida, pero está tabulada.

#### Propiedades

* $$E(X) = \mu$$
* $$V(X) = \sigma^2$$
* Si $$X \sim N(\mu, \sigma^2)$$entonces $$Z= \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)$$
* Sean $$x\_p$$y $$z\_p$$ percentiles de X y Z respectivamente, entonces $$x\_p = \sigma z\_p + \mu$$

### Exponencial

Notamos $$X \sim \varepsilon(\lambda)$$.

* $$f\_X(x) = \lambda e^{-\lambda x} I\_{(0, \infty)}(x)$$
* $$F\_X(x) = \begin{cases} 0 & x \leq 0 \ 1-e^{-\lambda x} & 0 < x \end{cases}$$

#### Propiedades

* $$E(X) = \frac{1}{\lambda}$$
* $$V(X) = \frac{1}{\lambda^2}$$
* **Falta de memoria:** $$P(X > s+t | X > s) = P(X > t)$$

#### Relación con la Poisson

Sea $$X\_t \sim P(\theta t)$$ un proceso de Poisson, entonces si T:"tiempo hasta la ocurrencia del primer evento", $$T \sim \varepsilon(\theta)$$

### Gamma

La función Gamma, generalización del factorial, se define como:

$$\Gamma(\alpha) = \int^{\infty}\_0 x^{\alpha - 1} e^{-x} dx$$

y cumple que:

* Si $$\alpha > 1$$, entonces $$\Gamma(\alpha) = (\alpha - 1) \Gamma(\alpha - 1)$$
* Si $$\alpha \in N$$, entonces $$\Gamma(\alpha) = (\alpha-1)!$$
* $$\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt\pi$$

A partir de esta función, definimos la distribución Gamma.

Notamos $$X \sim \Gamma(\alpha, \lambda)$$o $$X \sim G(\alpha, \lambda)$$(es medio confuso que usen G tanto para la Gamma como para la Geométrica)

$$f\_X(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} e^{-\lambda x} x^{\alpha - 1} \lambda^{\alpha} I\_{(0, \infty)}(x)$$

#### Gamma Estándar

Se denomina Gamma Estándar a una Gamma con $$\lambda = 1$$

#### Propiedades

* $$\lambda$$es un factor de escala, a mayor $$\lambda$$, más comprimida queda
* $$E(X) = \frac{\alpha}{\lambda}$$
* $$V(X) = \frac{\alpha}{\lambda^2}$$
* si $$X \sim \Gamma(\alpha, \lambda)$$, entonces $$aX \sim \Gamma(\alpha, \frac{\lambda}{a})$$
* más adelante veremos que la Gamma es suma de Exponenciales

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