Distribuciones

Uniforme

Notamos $X \sim U(A, B)$

$f_X(x) = \frac{1}{B-A} I_{[A, B]}(x)$

• $I_{[A, B]}(x) =\ if\ x \in [A,B]\ then\ 1\ else\ 0$

Propiedades

$E(X) = \frac{A+B}{2}$

$V(X) = \frac{(B-A)^2}{12}$

Normal

Notamos $X \sim N(\mu, \sigma^2)$

$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp(- \frac{1}{2\sigma^2} (x - \mu)^2)$

• $\exp(x) = e^x$, escribo exp porque sino el exponente queda muy chico

Normal Estándar

La normal estándar cumple $\mu = 0$y $\sigma = 1$.

A su función de distribución acumulada la escribimos $\Phi = F_X$. No tiene una expresión analítica conocida, pero está tabulada.

Propiedades

• $E(X) = \mu$

• $V(X) = \sigma^2$

• Si $X \sim N(\mu, \sigma^2)$entonces $Z= \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)$

• Sean $x_p$y $z_p$ percentiles de X y Z respectivamente, entonces $x_p = \sigma z_p + \mu$

Exponencial

Notamos $X \sim \varepsilon(\lambda)$.

• $f_X(x) = \lambda e^{-\lambda x} I_{(0, \infty)}(x)$

• $F_X(x) = \begin{cases} 0 & x \leq 0 \\ 1-e^{-\lambda x} & 0 < x \end{cases}$

Propiedades

• $E(X) = \frac{1}{\lambda}$

• $V(X) = \frac{1}{\lambda^2}$

• Falta de memoria: $P(X > s+t | X > s) = P(X > t)$

Relación con la Poisson

Sea $X_t \sim P(\theta t)$ un proceso de Poisson, entonces si T:"tiempo hasta la ocurrencia del primer evento", $T \sim \varepsilon(\theta)$

Gamma

La función Gamma, generalización del factorial, se define como:

$\Gamma(\alpha) = \int^{\infty}_0 x^{\alpha - 1} e^{-x} dx$

y cumple que:

• Si $\alpha > 1$, entonces $\Gamma(\alpha) = (\alpha - 1) \Gamma(\alpha - 1)$

• Si $\alpha \in N$, entonces $\Gamma(\alpha) = (\alpha-1)!$

• $\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt\pi$

A partir de esta función, definimos la distribución Gamma.

Notamos $X \sim \Gamma(\alpha, \lambda)$o $X \sim G(\alpha, \lambda)$(es medio confuso que usen G tanto para la Gamma como para la Geométrica)

$f_X(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} e^{-\lambda x} x^{\alpha - 1} \lambda^{\alpha} I_{(0, \infty)}(x)$

Gamma Estándar

Se denomina Gamma Estándar a una Gamma con $\lambda = 1$

Propiedades

• $\lambda$es un factor de escala, a mayor $\lambda$, más comprimida queda

• $E(X) = \frac{\alpha}{\lambda}$

• $V(X) = \frac{\alpha}{\lambda^2}$

• si $X \sim \Gamma(\alpha, \lambda)$, entonces $aX \sim \Gamma(\alpha, \frac{\lambda}{a})$

• más adelante veremos que la Gamma es suma de Exponenciales