Intervalos de confianza

Sean $X_1,..., X_n$una muestra aleatoria de una distribución que depende de un parámetro $\theta$, dadas dos funciones $a(X_1,...,X_n)$ y $b(X_1,...,X_n)$ tales que

$$P(a(X_1,...,X_n) \leq \theta \leq b(X_1,...,X_n)) = 1-\alpha$$

con $\alpha$pequeño, al intervalo $[a(X_1,...,X_n), b(X_1,...,X_n)]$se lo denomina intervalo de confianza de nivel $1-\alpha$ para el parámetro $\theta$.

Interpretación: Supongamos que, en base a diferentes muestras calculamos los correspondientes intervalos de confianza para $\theta$. Entonces el $(1 - \alpha) 100\%$ de ellos contendrán al verdadero valor $\theta$.

Método general para obtener intervalos de confianza

Supongamos que existe una función $T(X_1, X_2 ,..., X_n , \theta)$ (es decir, una función de la muestra y del parámetro) cuya distribución no depende de $\theta$ ni de ningún otro parámetro desconocido. Entonces, existe $a,b$tales que:

$$P(a \leq T(X_1, X_2,..., X_n, \theta) \leq b ) = 1 − \alpha$$

y a partir de esta expresión, se puede despejar $\theta$para obtener el intervalo de confianza.

Intervalos de confianza de nivel asintótico

Si tenemos

$$lim_{n \to \infty} P(a_n(X_1,...,X_n) \leq \theta \leq b_n(X_1,...,X_n)) = 1-\alpha$$

la sucesion de intervalos $[a_n(X_1,...,X_n), b_n(X_1,...,X_n)]$es una sucesión de intervalos de confianza de nivel asintótico $1-\alpha$ para el parámetro $\theta$.

Para $n$ suficientemente grande, decimos que $[a_n(X_1,...,X_n), b_n(X_1,...,X_n)]$tiene nivel aproximado $1-\alpha$.

¿Porqué calcular intervalos de nivel asintótico?

• Porque no es posible encontrar una función pivote que no dependa del parámetro

• Porque no se conoce la distribución exacta de la función pivote

• Porque en general es más fácil encontrar la distribución asintótica que la exacta de la función pivote

Se suele utilizar en combinación con el Teoréma Central del Límite.