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# Test de Hipótesis

### Conceptos

Tenemos dos hipótesis, a la primera la llamamos **hipótesis nula** $$H\_0$$ y a la segunda **hipótesis alternativa** $$H\_1$$.

**p-valor**: probabilidad de obtener una muestra tan o más extrema, asumiendo verdadera $$H\_0$$

Un test es una regla de decisión basada en:

* un **estadístico** o función de la muestra
* una **zona de rechazo**, es decir un conjunto de valores para los cuáles se rechaza la hipótesis nula $$H\_0$$

|                      | No se rechaza $$H\_o$$ | Se rechaza $$H\_o$$ |
| -------------------- | ---------------------- | ------------------- |
| $$H\_0$$es cierta    | OK                     | Error tipo 1        |
| $$H\_0$$no es cierta | Error tipo 2           | OK                  |

Llamaremos **nivel de significación del test**, y lo designaremos $$\alpha$$, a la máxima probabilidad de error tipo 1 y designaremos $$\beta$$ a la máxima probabilidad de error tipo 2.

La **función de potencia de un test**, $$\pi( \mu )$$, es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando el valor verdadero del parámetro es $$\mu$$.

$$
\pi(\mu)= \begin{cases}\alpha(\mu) & \mu \in H\_0\ 1 -\beta(\mu) & \mu \in H\_1 \end{cases}
$$

donde $$\alpha(\mu)$$ y $$\beta(\mu)$$ denota las probabilidades de error tipo 1 y tipo 2 respectivamente cuando el verdadero valor del parámetro es $$\mu$$.

#### Tipos de hipótesis a testear

Hipótesis unilaterales:

$$
H\_0: \theta=\theta\_0 \text{ vs } H\_1: \theta>\theta\_0 \ H\_0: \theta\leq\theta\_0 \text{ vs } H\_1: \theta>\theta\_0
$$

$$
H\_0: \theta=\theta\_0 \text{ vs } H\_1: \theta<\theta\_0 \ H\_0: \theta\geq\theta\_0 \text{ vs } H\_1: \theta<\theta\_0
$$

Hipótesis bilaterales:

$$
H\_0: \theta=\theta\_0 \text{ vs } H\_1: \theta \neq \theta\_0
$$

### Relación entre tests de hipótesis bilaterales e intervalos de confianza

Sea $$IC(X\_1, X\_2,..., X\_n)$$ un intervalo de confianza de nivel $$1 - \alpha$$ para un parámetro $$\theta$$, obtenido a partir de una m.a. $$X\_1, X\_2 ,..., X\_n$$ . Consideremos el problema de testear las hipótesis $$H\_0: \theta = \theta\_0 \text{ vs } H\_1: \theta \neq \theta\_0$$.

El test de rechazar $$H\_0$$cuando $$\theta\_0 \notin IC(X\_1, X\_2,..., X\_n)$$tiene nivel $$\alpha$$