Test de Hipótesis

Conceptos

Tenemos dos hipótesis, a la primera la llamamos hipótesis nula $H_0$ y a la segunda hipótesis alternativa $H_1$.

p-valor: probabilidad de obtener una muestra tan o más extrema, asumiendo verdadera $H_0$

Un test es una regla de decisión basada en:

• un estadístico o función de la muestra

• una zona de rechazo, es decir un conjunto de valores para los cuáles se rechaza la hipótesis nula $H_0$

	No se rechaza $H_o$	Se rechaza $H_o$
$H_0$es cierta	OK	Error tipo 1
$H_0$no es cierta	Error tipo 2	OK

Llamaremos nivel de significación del test, y lo designaremos $\alpha$, a la máxima probabilidad de error tipo 1 y designaremos $\beta$ a la máxima probabilidad de error tipo 2.

La función de potencia de un test, $\pi( \mu )$, es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando el valor verdadero del parámetro es $\mu$.

$$\pi(\mu)= \begin{cases}\alpha(\mu) & \mu \in H_0\\ 1 -\beta(\mu) & \mu \in H_1 \end{cases}$$

donde $\alpha(\mu)$ y $\beta(\mu)$ denota las probabilidades de error tipo 1 y tipo 2 respectivamente cuando el verdadero valor del parámetro es $\mu$.

Tipos de hipótesis a testear

Hipótesis unilaterales:

$$H_0: \theta=\theta_0 \text{ vs } H_1: \theta>\theta_0 \\ H_0: \theta\leq\theta_0 \text{ vs } H_1: \theta>\theta_0$$

$$H_0: \theta=\theta_0 \text{ vs } H_1: \theta<\theta_0 \\ H_0: \theta\geq\theta_0 \text{ vs } H_1: \theta<\theta_0$$

Hipótesis bilaterales:

$$H_0: \theta=\theta_0 \text{ vs } H_1: \theta \neq \theta_0$$

Relación entre tests de hipótesis bilaterales e intervalos de confianza

Sea $IC(X_1, X_2,..., X_n)$ un intervalo de confianza de nivel $1 - \alpha$ para un parámetro $\theta$, obtenido a partir de una m.a. $X_1, X_2 ,..., X_n$ . Consideremos el problema de testear las hipótesis $H_0: \theta = \theta_0 \text{ vs } H_1: \theta \neq \theta_0$.

El test de rechazar $H_0$cuando $\theta_0 \notin IC(X_1, X_2,..., X_n)$tiene nivel $\alpha$