# Ejemplos de intervalos de confianza

### Distribución t de Student

Sean dos v.a. $$Z \sim N(0,1)$$ y $$U \sim \chi^2\_n = \Gamma(\frac{n}{2}, \frac{1}{2})$$, entonces:

$$
T = \frac{Z}{\sqrt{U/n}} \sim t\_n
$$

* Se dice que **T tiene distribución t de Student con n grados de libertad**.
* Su densidad es simétrica respecto al 0 y tiene forma de campana, pero tiene **colas más pesadas** que la distribución normal estándar.
* Cuando n tiende a infinito, **la distribución de Student tiende a la distribución normal estándar**.

#### Proposiciones

* $$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2\_{n-1}$$ con $$S^2 = \frac{\sum^n\_{i=1} (X\_i - \bar{X})^2}{n-1}$$
* $$\bar{X}$$ y $$S^2$$ son independientes
* $$\sqrt{n} \frac{\bar{X} - \mu}{S} \sim t\_{n-1}$$

### Distribución $$\chi^2$$

Si $$Z \sim N(0,1)$$, entonces $$Z^2 \sim \chi^2\_1 = \Gamma(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$$

Si $$Z\_i \sim N(0,1)$$son independientes, entonces $$\sum^n\_{i=1} Z^2 \sim \chi^2\_n = \Gamma(\frac{n}{2}, \frac{1}{2})$$

### Intervalos para distribución Normal

#### Para la media, con varianza conocida

$$
T(X\_1, X\_2,..., X\_n, \mu) = \sqrt{n} \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)
$$

#### Para la media, con varianza desconocida

$$
T(X\_1, X\_2,..., X\_n, \mu) = \sqrt{n} \frac{\bar{X} - \mu}{S} \sim t\_{n-1}
$$

#### Para la varianza, con media conocida

$$
T(X\_1, X\_2,..., X\_n, \sigma) = \sum^n\_{i=1} \Big(\frac{X\_i - \mu}{\sigma}\Big)^2 \sim \chi^2\_n
$$

#### Para la varianza, con media desconocida

$$
T(X\_1, X\_2,..., X\_n, \sigma) = \frac{(n-1) S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2\_{n-1}
$$

### Distribución exponencial

Partiendo de que:

* $$X\_i \sim \varepsilon(\lambda) iid \implies \sum^n\_{i=1} X\_i \sim \Gamma(n, \lambda)$$
* $$V \sim \Gamma(\alpha, \lambda) \land a>0 \implies aV \sim \Gamma(\alpha, \frac{\lambda}{a})$$

Entonces

$$
T(X\_1, X\_2,..., X\_n, \lambda) = 2 \lambda \sum^n\_{i=1} X\_i \sim \Gamma(\frac{2n}{2}, \frac{1}{2}) = \chi^2\_{2n}
$$

### Asintótico para Bernoulli

Partimos de que, por TCL:

$$
\frac{\bar{X} - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \sim^{(a)} N(0, 1)
$$

Sin embargo, no es trivial despejar $$p$$para obtener el intervalo de confianza.

#### Primera forma de solucionarlo

Usar que $$\hat{p} = \bar{X} \to^p p$$ por LGN, y reemplazamos $$p$$ por $$\hat{p}$$en el denominador:

$$
\frac{\bar{X} - p}{\sqrt{\frac{\bar{X}(1-\bar{X})}{n}}} \sim^{(a)} N(0, 1)
$$

#### Segunda forma de solucionarlo

* Elevar al cuadrado ambos lados de la inecuación del interval de confianza

  $$
  P \left( \left| \frac{\bar{X} - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \right| \leq z\_{\alpha/2} \right) = P \left( \left( \frac{\bar{X} - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \right)^2 \leq z^2\_{\alpha/2} \right)
  $$
* Desarrollarlo y llevarlo a una inecuación de segundo grado sobre $$p$$, acotada por 0

$$
p^2 (1 + \frac{z^2\_{\alpha/2}}{n}) + p (2\bar{X}+ \frac{z^2\_{\alpha/2}}{n}) + \bar{X}^2 \leq 0
$$

* Buscar las raices de la ecuación de segundo grado