Ejemplos de intervalos de confianza

Distribución t de Student

Sean dos v.a. $Z \sim N(0,1)$ y $U \sim \chi^2_n = \Gamma(\frac{n}{2}, \frac{1}{2})$, entonces:

$$T = \frac{Z}{\sqrt{U/n}} \sim t_n$$

• Se dice que T tiene distribución t de Student con n grados de libertad.

• Su densidad es simétrica respecto al 0 y tiene forma de campana, pero tiene colas más pesadas que la distribución normal estándar.

• Cuando n tiende a infinito, la distribución de Student tiende a la distribución normal estándar.

Proposiciones

• $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}$ con $S^2 = \frac{\sum^n_{i=1} (X_i - \bar{X})^2}{n-1}$

• $\bar{X}$ y $S^2$ son independientes

• $\sqrt{n} \frac{\bar{X} - \mu}{S} \sim t_{n-1}$

Distribución $\chi^2$

Si $Z \sim N(0,1)$, entonces $Z^2 \sim \chi^2_1 = \Gamma(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Si $Z_i \sim N(0,1)$son independientes, entonces $\sum^n_{i=1} Z^2 \sim \chi^2_n = \Gamma(\frac{n}{2}, \frac{1}{2})$

Intervalos para distribución Normal

Para la media, con varianza conocida

$$T(X_1, X_2,..., X_n, \mu) = \sqrt{n} \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)$$

Para la media, con varianza desconocida

$$T(X_1, X_2,..., X_n, \mu) = \sqrt{n} \frac{\bar{X} - \mu}{S} \sim t_{n-1}$$

Para la varianza, con media conocida

$$T(X_1, X_2,..., X_n, \sigma) = \sum^n_{i=1} \Big(\frac{X_i - \mu}{\sigma}\Big)^2 \sim \chi^2_n$$

Para la varianza, con media desconocida

$$T(X_1, X_2,..., X_n, \sigma) = \frac{(n-1) S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}$$

Distribución exponencial

Partiendo de que:

• $X_i \sim \varepsilon(\lambda) iid \implies \sum^n_{i=1} X_i \sim \Gamma(n, \lambda)$
• $V \sim \Gamma(\alpha, \lambda) \land a>0 \implies aV \sim \Gamma(\alpha, \frac{\lambda}{a})$

Entonces

$$T(X_1, X_2,..., X_n, \lambda) = 2 \lambda \sum^n_{i=1} X_i \sim \Gamma(\frac{2n}{2}, \frac{1}{2}) = \chi^2_{2n}$$

Asintótico para Bernoulli

Partimos de que, por TCL:

$$\frac{\bar{X} - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \sim^{(a)} N(0, 1)$$

Sin embargo, no es trivial despejar $p$para obtener el intervalo de confianza.

Primera forma de solucionarlo

Usar que $\hat{p} = \bar{X} \to^p p$ por LGN, y reemplazamos $p$ por $\hat{p}$en el denominador:

$$\frac{\bar{X} - p}{\sqrt{\frac{\bar{X}(1-\bar{X})}{n}}} \sim^{(a)} N(0, 1)$$

Segunda forma de solucionarlo

• Elevar al cuadrado ambos lados de la inecuación del interval de confianza

  $$P \left( \left| \frac{\bar{X} - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \right| \leq z_{\alpha/2} \right) = P \left( \left( \frac{\bar{X} - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \right)^2 \leq z^2_{\alpha/2} \right)$$
• Desarrollarlo y llevarlo a una inecuación de segundo grado sobre $p$, acotada por 0

$$p^2 (1 + \frac{z^2_{\alpha/2}}{n}) + p (2\bar{X}+ \frac{z^2_{\alpha/2}}{n}) + \bar{X}^2 \leq 0$$

• Buscar las raices de la ecuación de segundo grado