Definiciones

Función de densidad

Una v.a. es continua si existe $f_X : \Re \to \Re^+$, llamada función de densidad, tal que

$P(X \in A) = \int_A f_X(x) dx$ $\forall A \subseteq \Re$

en particular, si $A = [a, b]$, entonces $P(a \leq X \leq b) = \int^b_a f_X(x) dx$.

Notar que $f_X(x)$no es una probabilidad, puede ser mayor a 1.

Función de distribución acumulada

$F_X(x) = P(X \leq x) = \int^x_{-\infty} f_X(t) dt$

Propiedades

• $F_X$es monótona no decreciente

• $F_X$es continua en todo punto

• Otras propiedades que aplican a toda función de distribución acumulada

$P(a \leq X \leq b) = P(a < X \leq b) = P(a \leq X < b) = P(a < X < b) = F_X(b) - F_X(a)$

Percentiles

El percentil (100 p)-ésimo de la distribución de X es el valor $x_p$tal que:

$F_X(x_p) = P(X \leq x_p) = p$

Al 50-percentil se lo denomina mediana.

Esperanza

$E(X) = \int^\infty_{-\infty} x f_X(x) dx$

siempre que $\int^\infty_{-\infty} |x| f_X(x) dx < \infty$.

Varianza

$V(X) = E[(X - E(X))^2]$

También se cumple que $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$