# Definiciones

### Función de densidad

Una v.a. es continua si existe $$f\_X : \Re \to \Re^+$$, llamada función de densidad, tal que

$$P(X \in A) = \int\_A f\_X(x) dx$$ $$\forall A \subseteq \Re$$

en particular, si $$A = \[a, b]$$, entonces $$P(a \leq X \leq b) = \int^b\_a f\_X(x) dx$$.

Notar que $$f\_X(x)$$**no** es una probabilidad, puede ser mayor a 1.

### Función de distribución acumulada

$$F\_X(x) = P(X \leq x) = \int^x\_{-\infty} f\_X(t) dt$$

#### Propiedades

* $$F\_X$$es monótona no decreciente
* $$F\_X$$es continua en todo punto
* Otras propiedades que aplican a toda función de distribución acumulada

$$P(a \leq X \leq b) = P(a < X \leq b) = P(a \leq X < b) = P(a < X < b) = F\_X(b) - F\_X(a)$$

### Percentiles

El percentil (100 p)-ésimo de la distribución de X es el valor $$x\_p$$tal que:

$$F\_X(x\_p) = P(X \leq x\_p) = p$$

Al 50-percentil se lo denomina **mediana**.

### Esperanza

$$E(X) = \int^\infty\_{-\infty} x f\_X(x) dx$$

siempre que $$\int^\infty\_{-\infty} |x| f\_X(x) dx < \infty$$.

### Varianza

$$V(X) = E\[(X - E(X))^2]$$

También se cumple que $$V(X) = E(X^2) - E(X)^2$$