Axiomas y definiciones

Definiciones básicas

• Experimento: cualquier proceso o acción que genera observaciones y que puede ser repetible.

• Espacio muestral asociado a un experimento: conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Lo notaremos S.

• Sucesos o eventos: cualquier subconjunto del espacio muestral.

• Evento elemental o simple: consiste de un único resultado individual.

Nota: Como un evento o suceso es un conjunto, valen las mismas relaciones que en teoría de conjuntos.

Axiomas

• $P(A) \geq 0$

• $P(S) = 1$

• $P(\cup_{i=1}^n A_i) = \sum_{i=1}^n A_i$ si los $A_i$son mutuamente excluyentes

• $P(\cup_{i=1}^\infty A_i) = \sum_{i=1}^\infty A_i$ si los $A_i$son mutuamente excluyentes

La propiedades más conocidas surgen de estos axiomas y operaciones con conjuntos.

Probabilidad Condicional

Sean A y B eventos tales que $P(B) > 0$, la probabilidad de A condicional a la ocurrencia del evento B es:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Lemas/Teoremas/Reglas importantes

Regla del producto: $P(A \cap B) = P(A|B)P(B)$ si $P(B) > 0$

Teorema de la probabilidad total: $P(B) = \sum_{i = 1}^k P(B|A_i)P(A_i)$ si los $A_i$ forman una partición del espacio muestral.

Teorema de Bayes: $P(A_j|B) = \frac{P(B|A_j)P(A_j)}{\sum_{i = 1}^k P(B|A_i)P(A_i)}$si los $A_i$forman una partición del espacio muestra, y $P(A_i) > 0$, $P(B) > 0$

El Teorema de Bayes describe cómo es posible “revisar” la probabilidad inicial de un evento o probabilidad a priori (P(Ai)) para reflejar la información adicional que nos provee la ocurrencia de un evento relacionado. La probabilidad revisada se denomina probabilidad a posteriori.

Independencia

Los eventos A y B son independientes si $P(A \cap B) = P(A)P(B)$

Propiedades

• Si A y B son excluyentes, y ninguno tiene probabilidad 0, entonces no son independientes.

• Si $A \subseteq B$, $P(A) > 0$, $P(B) < 1$, entonces A y B no son independientes.
• Si varios eventos son independientes, entonces lo son de a pares. Pero no necesariamente vale la recíproca.