# Axiomas y definiciones

### Definiciones básicas

* **Experimento:** cualquier proceso o acción que genera observaciones y que puede ser repetible.
* **Espacio muestral asociado a un experimento:** conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Lo notaremos S.
* **Sucesos o eventos:** cualquier subconjunto del espacio muestral.
* **Evento elemental o simple:** consiste de un único resultado individual.

**Nota:** Como un evento o suceso es un conjunto, valen las mismas relaciones que en teoría de conjuntos.

### Axiomas

* $$P(A) \geq 0$$ 
* $$P(S) = 1$$ 
* $$P(\cup\_{i=1}^n A\_i) = \sum\_{i=1}^n A\_i$$ si los $$A\_i$$son mutuamente excluyentes
* $$P(\cup\_{i=1}^\infty A\_i) = \sum\_{i=1}^\infty A\_i$$ si los $$A\_i$$son mutuamente excluyentes

La propiedades más conocidas surgen de estos axiomas y operaciones con conjuntos.

### Probabilidad Condicional

Sean A y B eventos tales que $$P(B) > 0$$, la probabilidad de A condicional a la ocurrencia del evento B es:

$$
P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
$$

### Lemas/Teoremas/Reglas importantes

**Regla del producto:** $$P(A \cap B) = P(A|B)P(B)$$ si $$P(B) > 0$$

**Teorema de la probabilidad total:** $$P(B) = \sum\_{i = 1}^k P(B|A\_i)P(A\_i)$$ si los $$A\_i$$ forman una partición del espacio muestral.

**Teorema de Bayes:** $$P(A\_j|B) = \frac{P(B|A\_j)P(A\_j)}{\sum\_{i = 1}^k P(B|A\_i)P(A\_i)}$$si los $$A\_i$$forman una partición del espacio muestra, y $$P(A\_i) > 0$$, $$P(B) > 0$$

El Teorema de Bayes describe cómo es posible **“revisar” la probabilidad inicial** de un evento o **probabilidad a priori** (P(Ai)) **para reflejar la información adicional** que nos provee la ocurrencia de un evento relacionado. La probabilidad revisada se denomina **probabilidad a posteriori**.

### Independencia

Los eventos A y B son independientes si $$P(A \cap B) = P(A)P(B)$$

#### Propiedades

* Si A y B son excluyentes, y ninguno tiene probabilidad 0, entonces **no son independientes.**
* Si $$A \subseteq B$$, $$P(A) > 0$$, $$P(B) < 1$$, entonces A y B **no son independientes.**
* Si varios eventos son independientes, entonces lo son de a pares. Pero **no necesariamente vale la recíproca.**


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